حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} - 1}$ في صورة ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 9.3

انقُل ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

خطوة 13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

خطوة 13.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

خطوة 13.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 13.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 13.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2

اضرب $1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3.2

اجمع.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.5

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 14.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.6

اضرب ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.7

أخرِج العامل ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1

أعِد ترتيب ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ و $x$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.7.2

أخرِج العامل ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.7.3

أخرِج العامل ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.7.4

أخرِج العامل ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.9

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.10

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$