حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x + y) - x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $0$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.6

اضرب $\cos (x + y)$ في $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\cos (x + y) - y$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$- y + \cos (x + y)$