حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \tan (x) \cdot (\sin (x) + \cos (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 5

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\cos (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.1.2

أعِد كتابة $\cos (x) \tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\sin (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.3

اضرب $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

اجمع $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.3.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.4

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.7

اجمع $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 6.4.8

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

خطوة 6.4.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

خطوة 6.4.10

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.10.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

خطوة 6.4.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

خطوة 6.4.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

خطوة 6.4.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 6.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.6

أعِد ترتيب $- \sin^{2} (x)$ و $1$ .

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.7

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.8

احذِف العامل المشترك لـ $\cos^{2} (x)$ و $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

اضرب في $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.8.2.4

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

خطوة 6.9.2

افصِل الكسور.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 6.9.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

خطوة 6.9.4

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \sec (x) \tan (x)$