حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

خطوة 1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{b}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x + a}{b}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{b}$ في $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + a$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

خطوة 2.5

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

خطوة 2.6.2

اضرب $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ في $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

خطوة 3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $b$ في $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

خطوة 3.3.2

اجمع $b$ و $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

خطوة 3.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $b$ و $b^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $b$ من $b {(x + a)}^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

أخرِج العامل $b$ من $b^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

خطوة 3.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

خطوة 3.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

خطوة 3.3.4

لكتابة $b$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

خطوة 3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

خطوة 3.3.6

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

خطوة 3.3.7

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

خطوة 3.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

خطوة 3.3.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

خطوة 3.3.10

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ .

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

خطوة 3.3.11

اضرب $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ في $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$