حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (16 \sin^{2} (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 16 \sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} (16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

خطوة 2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $16$ و $\frac{1}{16 \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ إلى $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 5

انقُل $2$ إلى يسار $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 6

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

خطوة 7.2

أضف الأقواس.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب $2 \csc^{2} (x)$ و $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

خطوة 7.4

أضف الأقواس.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

خطوة 7.5

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

خطوة 7.6

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

خطوة 7.7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

خطوة 7.8

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

خطوة 7.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 7.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 7.11

اجمع $\sin (2 x)$ و $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 7.12

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 7.13

احذِف العامل المشترك لـ $\sin (x)$ و $\sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.13.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 7.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.13.2.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

خطوة 7.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

خطوة 7.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 7.14

افصِل الكسور.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 7.15

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

خطوة 7.16

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \cot (x)$