حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 3

اجمع ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ و $g (x) = 33 x + 31$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $33 x + 31$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $33 x + 31$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 8.2

اطرح $3$ من $4$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31]$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $33 x + 31$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31]$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31])$

خطوة 11

بما أن $33$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $33 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $33 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [31])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [31])$

خطوة 13

اضرب $33$ في $1$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + \frac{d}{d x} [31])$

خطوة 14

بما أن $31$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $31$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + 0)$

خطوة 15

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $33$ و $0$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \cdot 33$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$ و $33$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) \cdot 33}{3}$

خطوة 15.3

اضرب $33$ في $4$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$

خطوة 15.4

أخرِج العامل $3$ من $132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3}$

خطوة 16

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 (1)}$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 \cdot 1}$

خطوة 16.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{1}$

خطوة 16.4

اقسِم $44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ على $1$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$

خطوة 17

لكتابة $44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

خطوة 18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

خطوة 19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

أخرِج العامل ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ من ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1.1

انقُل $\ln (x)$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} x \ln (x)}{x}$

خطوة 19.1.1.2

انقُل ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

خطوة 19.1.2

أخرِج العامل ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ من ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

خطوة 19.1.3

أخرِج العامل ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ من $44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))}{x}$

خطوة 19.1.4

أخرِج العامل ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ من ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x \ln (x))}{x}$

خطوة 19.2

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{1} + 44 x \ln (x))}{x}$

خطوة 19.3

بسّط.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + 44 x \ln (x))}{x}$

خطوة 19.4

بسّط $44 \ln (x)$ بنقل $44$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + x \ln (x^{44}))}{x}$