حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 \sin^{5} (\sqrt{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$4 (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (5 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

خطوة 3

اضرب $5$ في $4$ .

$20 (\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 10

انقُل السالب أمام الكسر.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $20$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 13

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2}$ و $\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 14

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ و $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

انقُل $20$ إلى يسار $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 15.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

أخرِج العامل $2$ من $20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 17.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$