حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.10

اجمع $4$ و $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 2.11

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{4 x^{6}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{6}}$ بالصيغة ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

خطوة 3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{6})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

خطوة 3.5.2

اضرب $6$ في $- 2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

خطوة 3.6

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

خطوة 3.7

اضرب $x^{- 12}$ في $x^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

انقُل $x^{5}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

خطوة 3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{5 - 12})$

خطوة 3.7.3

اطرح $12$ من $5$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 7})$

خطوة 3.8

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 6 (\frac{3}{4}) x^{- 7}$

خطوة 3.9

اجمع $6$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{6 \cdot 3}{4} x^{- 7}$

خطوة 3.10

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4} x^{- 7}$

خطوة 3.11

اجمع $\frac{18}{4}$ و $x^{- 7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18 x^{- 7}}{4}$

خطوة 3.12

انقُل $x^{- 7}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4 x^{7}}$

خطوة 3.13

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{4 x^{7}}$

خطوة 3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{2 (2 x^{7})}$

خطوة 3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot 9}{2 (2 x^{7})}$

خطوة 3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{9}{2 x^{7}}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{9}{2 x^{7}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$