حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{\ln (x)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $x^{\ln (x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

خطوة 2.2

وسّع $\ln (x^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

خطوة 3

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

خطوة 4

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

خطوة 6

أضف $1$ و $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln^{2} (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln^{2} (x)$ .

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 9

اضرب $2$ في $3$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 10

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

خطوة 11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{\ln (x)}{x}$ و $6$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

خطوة 11.3

اجمع $\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ و $e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

خطوة 11.4

انقُل $6$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

خطوة 12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط $6 \ln (x)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$