حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(6 - 9 x)}^{4}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - 9 x)}^{4}] + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 6 - 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 - 9 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 - 9 x$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 - 9 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.4

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.5

اضرب $- 9$ في $4$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \cdot 1) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.7

اضرب $- 36$ في $1$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} (2 x))$

خطوة 4.9

انقُل $2$ إلى يسار ${(6 - 9 x)}^{4}$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + 2 \cdot {(6 - 9 x)}^{4} x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

خطوة 5.2

اضرب $- 36$ في $3$ .

$- 108 (x^{2} ({(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $3$ .

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 ({(6 - 9 x)}^{4} x)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ من $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ من $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3}$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ من $6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ من $6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x + 6 - 9 x)$

خطوة 5.5

اطرح $9 x$ من $- 18 x$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 27 x + 6)$