حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 e^{3 x} + \sin (4 x)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{3 x} + \sin (4 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.5

اضرب $3$ في $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.7

اضرب $3$ في $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{3 x} + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \cdot 4$

خطوة 3.5

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (4 x)$ .

$6 e^{3 x} + 4 \cos (4 x)$