حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{4}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

خطوة 1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 1.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 1.5.2.2

اجمع $4$ و $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 1.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 1.6.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

خطوة 1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 1.6.4

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $4 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 1.6.4.2

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

خطوة 1.6.4.3

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

خطوة 1.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

خطوة 1.6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

خطوة 1.6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

خطوة 1.6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

خطوة 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

خطوة 2.3.2

اضرب $5$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.5.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.5.4.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

خطوة 2.7.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

خطوة 2.7.2.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

خطوة 2.7.2.2.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

خطوة 2.7.2.2.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

خطوة 2.8

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{10}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

خطوة 2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

خطوة 2.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

خطوة 2.9

اجمع $4$ و $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

خطوة 2.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

خطوة 2.10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.1.3

اضرب $- 4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.1.4

اضرب $- 5$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.1.5

اضرب $- 4$ في $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.1.6

اضرب $20$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.2

اطرح $16 x e^{x}$ من $4 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.3

اطرح $20 e^{x} x$ من $- 12 x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.5.3.1

انقُل $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.5.3.2

اطرح $20 x e^{x}$ من $- 12 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.7.1

أخرِج العامل $4 e^{x}$ من $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.7.1.1

أخرِج العامل $4 e^{x}$ من $- 32 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.7.1.2

أخرِج العامل $4 e^{x}$ من $4 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.7.1.3

أخرِج العامل $4 e^{x}$ من $80 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.7.1.4

أخرِج العامل $4 e^{x}$ من $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.7.1.5

أخرِج العامل $4 e^{x}$ من $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

خطوة 2.10.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

خطوة 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

خطوة 4.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

خطوة 4.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

خطوة 4.1.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.2.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

خطوة 4.1.5.2.2

اجمع $4$ و $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.4

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $4 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.4.2

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.4.3

أخرِج العامل $4 e^{x} x^{3}$ من $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

خطوة 4.1.6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{8}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

خطوة 4.1.6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

خطوة 4.1.6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 5.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 5.3.2.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 5.3.2.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 5.3.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 e^{x} (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 4$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{5} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

خطوة 6.2.2

بسّط $\sqrt[5]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

خطوة 6.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 4$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 4$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و ${(4)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

خطوة 9.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من ${(4)}^{6}$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

خطوة 9.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

خطوة 9.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

خطوة 9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

خطوة 9.2.2

اضرب $- 8$ في $4$ .

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

خطوة 9.2.3

اطرح $32$ من $16$ .

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

خطوة 9.2.4

أضف $- 16$ و $20$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

خطوة 9.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $1024$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $1024$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{4}}{256}$

خطوة 10

$x = 4$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 4$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و ${(4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 e^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

خطوة 11.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من ${(4)}^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

خطوة 11.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{e^{4}}{64}$ .

$y = \frac{e^{4}}{64}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ .

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13