حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = | x - 3 |$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = | x |$ و $g (x) = x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.2

مشتق $| u |$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + 0)$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ في $1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 3$ و $g (x) = | x - 3 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $| x - 3 |$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = | x |$ و $g (x) = x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.3.2

مشتق $| u |$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0))}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1)}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{x - 3}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.2

اضرب $- x + 3$ في $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- x + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3.2

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3.4

أعِد كتابة $- (x - 3)$ بالصيغة $- 1 (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3.5

ارفع $x - 3$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3.6

ارفع $x - 3$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{1 + 1}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.2

لكتابة $| x - 3 |$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{| x - 3 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 |}{| x - 3 |} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

اضرب $| x - 3 | | x - 3 |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.1

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.1.2

ارفع $x - 3$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.1.3

ارفع $x - 3$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{1 + 1} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{2} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.2

أعِد كتابة ${(x - 3)}^{2}$ بالصيغة $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.3

وسّع $(x - 3) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x - 3) - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.1.3

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 x - 3 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.2

اطرح $3 x$ من $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.5

أعِد كتابة ${(x - 3)}^{2}$ بالصيغة $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.6

وسّع $(x - 3) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.7.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.7.1.3

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.7.2

اطرح $3 x$ من $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 6 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.9.1

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.9.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.10

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11

أعِد كتابة $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.11.1

أعِد تجميع الحدود.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.11.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $| x^{2} - 6 x + 9 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.11.3.1

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (9) - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.3.3

أعِد كتابة $- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ بالصيغة $- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.11.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أعِد كتابة $\frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |} \cdot \frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$

خطوة 2.5.3.2

اضرب $\frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$ في $\frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

خطوة 2.5.3.3

اضرب ${| x - 3 |}^{2}$ في $| x - 3 |$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1

اضرب ${| x - 3 |}^{2}$ في $| x - 3 |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1.1

ارفع $| x - 3 |$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

خطوة 2.5.3.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2 + 1}}$

خطوة 2.5.3.3.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = | x |$ و $g (x) = x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 4.1.1.2

مشتق $| u |$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 4.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

خطوة 4.1.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0)$

خطوة 4.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x - 3 = 0$

خطوة 5.3

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 5.4

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| x - 3 | = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm 0$

خطوة 6.2.2

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 6.2.3

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 3$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 3$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| (3) - 3 |}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $3$ من $3$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| 0 |}^{3}}$

خطوة 9.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0^{3}}$

خطوة 9.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0}$

خطوة 9.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 10

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 10.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, 3)$ في المشتق الأول $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{(0) - 3}{| (0) - 3 |}$

خطوة 10.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اطرح $3$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| 0 - 3 |}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

اطرح $3$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

خطوة 10.2.2.2.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 3$ و $0$ تساوي $3$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{3}$

خطوة 10.2.2.3

اقسِم $- 3$ على $3$ .

$f' (0) = - 1$

خطوة 10.2.2.4

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 10.3

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = \frac{(6) - 3}{| (6) - 3 |}$

خطوة 10.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

اطرح $3$ من $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 6 - 3 |}$

خطوة 10.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

اطرح $3$ من $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 3 |}$

خطوة 10.3.2.2.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$f' (6) = \frac{3}{3}$

خطوة 10.3.2.3

اقسِم $3$ على $3$ .

$f' (6) = 1$

خطوة 10.3.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 10.4

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 3$ ، إذن $x = 3$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 3$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11