حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{- 7} + x^{7}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{- 7} + x^{7}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $- 7$ و $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

خطوة 1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $6$ في $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{7}{x^{8}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{8}}$ بالصيغة ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{8})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $8$ في $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

خطوة 2.3.6

اضرب $8$ في $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

خطوة 2.3.7

اضرب $x^{- 16}$ في $x^{7}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

خطوة 2.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

خطوة 2.3.7.3

اطرح $16$ من $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 8$ في $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

خطوة 2.4.2

اجمع $56$ و $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $42 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $5$ في $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $56$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{56}{x^{9}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{9}}$ بالصيغة ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

خطوة 3.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{9})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $9$ في $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

خطوة 3.3.6

اضرب $9$ في $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

خطوة 3.3.7

اضرب $x^{- 18}$ في $x^{8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

انقُل $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

خطوة 3.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

خطوة 3.3.7.3

اطرح $18$ من $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

خطوة 3.3.8

اضرب $- 9$ في $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $- 504$ و $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

خطوة 3.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $210$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $210 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

خطوة 4.2.3

اضرب $4$ في $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 504$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{504}{x^{10}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{10}}$ بالصيغة ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

خطوة 4.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{10})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

خطوة 4.3.5.2

اضرب $10$ في $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

خطوة 4.3.6

اضرب $10$ في $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

خطوة 4.3.7

اضرب $x^{- 20}$ في $x^{9}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

انقُل $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

خطوة 4.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

خطوة 4.3.7.3

اطرح $20$ من $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

خطوة 4.3.8

اضرب $- 10$ في $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

خطوة 4.4.2

اجمع $5040$ و $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$