حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x - 64 x^{- 3}$

خطوة 1

اكتب $4 x - 64 x^{- 3}$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 64 x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 64 x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 3$ في $- 64$ .

$4 + 192 x^{- 4}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$192 x^{- 4} + 4$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

خطوة 2.4.2.2

اجمع $192$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{192}{x^{4}} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $192$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{192}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.2.8

اضرب $- 4$ في $192$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $- 768$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

خطوة 3.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

خطوة 3.4.2.3

أضف $- \frac{768}{x^{5}}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

خطوة 5

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7