حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} e^{x}$

خطوة 1

اكتب $x^{2} e^{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

خطوة 3.3.5

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

خطوة 3.4.2

أضف $e^{x} (2 x)$ و $2 x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 3.4.2.2

أضف $2 x e^{x}$ و $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

خطوة 5.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

خطوة 5.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

خطوة 6.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 6.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.5

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 6.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 6.5.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 6.5.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 6.6

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 6.6.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 6.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x e^{x} (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, - 2$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

خطوة 10.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

خطوة 10.1.3

اضرب $0$ في $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

خطوة 10.1.4

اضرب $4$ في $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

خطوة 10.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

خطوة 10.1.6

اضرب $0$ في $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

خطوة 10.1.7

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

خطوة 10.1.8

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 0 + 2$

خطوة 10.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 2$

خطوة 10.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 11

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 e^{0}$

خطوة 12.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

خطوة 12.2.3

اضرب $0$ في $1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 12.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14.1.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14.1.4

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14.1.6

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

خطوة 14.1.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 14.1.9

اجمع $2$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

خطوة 14.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

خطوة 14.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

اطرح $8$ من $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

خطوة 14.2.2.2

أضف $- 4$ و $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

خطوة 14.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{e^{2}}$

خطوة 15

$x = - 2$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

خطوة 16.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

خطوة 16.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

خطوة 16.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

خطوة 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 18