حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

خطوة 1

اكتب $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 64 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 64$ في $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $96$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $96 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.4.3

اضرب $96$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $- 64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 64$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

خطوة 3.5.2

أضف $12 x^{2} - 72 x + 96$ و $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.2.3

اضرب $3$ في $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

خطوة 5.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $- 64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 64 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

خطوة 5.1.4.3

اضرب $- 64$ في $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

خطوة 6.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

خطوة 6.2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

خطوة 6.2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

خطوة 6.2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

خطوة 6.2.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

خطوة 6.2.1.6

أخرِج العامل $4$ من $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

خطوة 6.2.1.7

أخرِج العامل $4$ من $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

خطوة 6.2.2

حلّل $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 6.2.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

خطوة 6.2.2.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

خطوة 6.2.2.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

خطوة 6.2.2.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

خطوة 6.2.2.3.4

اضرب $- 9$ في $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

خطوة 6.2.2.3.5

اطرح $9$ من $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

خطوة 6.2.2.3.6

اضرب $24$ في $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

خطوة 6.2.2.3.7

أضف $- 8$ و $24$ .

$16 - 16$

خطوة 6.2.2.3.8

اطرح $16$ من $16$ .

$0$

خطوة 6.2.2.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

خطوة 6.2.2.5

اقسِم $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

خطوة 6.2.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

خطوة 6.2.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 6.2.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 6.2.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

خطوة 6.2.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

خطوة 6.2.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 8 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

خطوة 6.2.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

خطوة 6.2.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 6.2.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

خطوة 6.2.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

خطوة 6.2.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $16 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

خطوة 6.2.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

خطوة 6.2.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

خطوة 6.2.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

خطوة 6.2.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 8 x + 16$

خطوة 6.2.2.6

اكتب $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ في صورة مجموعة من العوامل.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

خطوة 6.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

خطوة 6.2.3.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

خطوة 6.2.3.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

خطوة 6.2.3.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

خطوة 6.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 6.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 6.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 6.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 6.5

عيّن قيمة العبارة ${(x - 4)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

عيّن قيمة ${(x - 4)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 6.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 4)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 6.5.2.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 6.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 1, 4$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 1, 4$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

خطوة 10.1.2

اضرب $12$ في $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

خطوة 10.1.3

اضرب $- 72$ في $1$ .

$12 - 72 + 96$

خطوة 10.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $72$ من $12$ .

$- 60 + 96$

خطوة 10.2.2

أضف $- 60$ و $96$ .

$36$

خطوة 11

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

خطوة 12.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

خطوة 12.2.1.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

خطوة 12.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

خطوة 12.2.1.5

اضرب $48$ في $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

خطوة 12.2.1.6

اضرب $- 64$ في $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

خطوة 12.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اطرح $12$ من $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

خطوة 12.2.2.2

أضف $- 11$ و $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

خطوة 12.2.2.3

اطرح $64$ من $37$ .

$f (1) = - 27$

خطوة 12.2.3

الإجابة النهائية هي $- 27$ .

$y = - 27$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 4$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

خطوة 14.1.2

اضرب $12$ في $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

خطوة 14.1.3

اضرب $- 72$ في $4$ .

$192 - 288 + 96$

خطوة 14.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اطرح $288$ من $192$ .

$- 96 + 96$

خطوة 14.2.2

أضف $- 96$ و $96$ .

$0$

خطوة 15

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 15.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

خطوة 15.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

خطوة 15.2.2.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

خطوة 15.2.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

خطوة 15.2.2.1.4

اضرب $- 36$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

خطوة 15.2.2.1.5

اضرب $96$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

خطوة 15.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

خطوة 15.2.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

خطوة 15.2.2.2.3

اطرح $64$ من $0$ .

$f' (0) = - 64$

خطوة 15.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 64$ .

$- 64$

خطوة 15.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(1, 4)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

خطوة 15.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

خطوة 15.3.2.1.2

اضرب $4$ في $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

خطوة 15.3.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

خطوة 15.3.2.1.4

اضرب $- 36$ في $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

خطوة 15.3.2.1.5

اضرب $96$ في $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

خطوة 15.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.2.1

اطرح $144$ من $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

خطوة 15.3.2.2.2

أضف $- 112$ و $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

خطوة 15.3.2.2.3

اطرح $64$ من $80$ .

$f' (2) = 16$

خطوة 15.3.2.3

الإجابة النهائية هي $16$ .

$16$

خطوة 15.4

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

خطوة 15.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

خطوة 15.4.2.1.2

اضرب $4$ في $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

خطوة 15.4.2.1.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

خطوة 15.4.2.1.4

اضرب $- 36$ في $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

خطوة 15.4.2.1.5

اضرب $96$ في $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

خطوة 15.4.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.2.1

اطرح $1296$ من $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

خطوة 15.4.2.2.2

أضف $- 432$ و $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

خطوة 15.4.2.2.3

اطرح $64$ من $144$ .

$f' (6) = 80$

خطوة 15.4.2.3

الإجابة النهائية هي $80$ .

$80$

خطوة 15.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 1$ ، إذن $x = 1$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15.6

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 4$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 15.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 16