حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x^{2} + b x + c$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

خطوة 1.1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [b x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $b x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $b$ في $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

خطوة 1.1.4

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $c$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 a x + b + 0$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أضف $2 a x + b$ و $0$ .

$2 a x + b$

خطوة 1.1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = b + 2 a x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $b + 2 a x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$b + 2 a x = 0$

خطوة 2.2

اطرح $b$ من كلا المتعادلين.

$2 a x = - b$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $2 a x = - b$ على $2 a$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 a x = - b$ على $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

خطوة 2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{b}{2 a}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $a x^{2} + b x + c$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{b}{2 a}$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $2 a$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.3.1

أخرِج العامل $a$ من ${(- 1)}^{2} a$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.3.2

أخرِج العامل $a$ من $2^{2} a^{2}$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.4

اجمع ${(- 1)}^{2}$ و $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.5.2

اضرب $b^{2}$ في $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.6

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

خطوة 4.1.2.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

خطوة 4.1.2.1.8

اضرب $- b \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.8.1

اجمع $\frac{b}{2 a}$ و $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

خطوة 4.1.2.1.8.2

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

خطوة 4.1.2.1.8.3

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

خطوة 4.1.2.1.8.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

خطوة 4.1.2.1.8.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

خطوة 4.1.2.2

لكتابة $- \frac{b^{2}}{2 a}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

خطوة 4.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4 a$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $\frac{b^{2}}{2 a}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1.1

أخرِج العامل $b^{2}$ من $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1.1.1

اضرب في $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.5.1.1.2

أخرِج العامل $b^{2}$ من $- b^{2} \cdot 2$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.5.1.1.3

أخرِج العامل $b^{2}$ من $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.5.1.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.5.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

خطوة 4.1.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

خطوة 5