حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{1 - x^{2}}$ بالصيغة ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 3.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 3.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.5.2

اضرب ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ في $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

خطوة 3.3.7

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

خطوة 3.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

خطوة 3.5.1.2

اجمع $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $x$ في $1$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

خطوة 5.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

خطوة 5.3.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

خطوة 5.3.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $(1 + x) (1 - x)$ .

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

خطوة 5.3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$