حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $f (x)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \frac{1}{3} x$ . إذن $d u = \frac{1}{3} d x$ ، لذا $3 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \frac{1}{3} x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

خطوة 4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

خطوة 4.3

انقُل $3$ إلى يسار $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

خطوة 5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

خطوة 6.3

اضرب $\int \csc^{2} (u) d u$ في $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

خطوة 7

بما أن مشتق $- \cot (u)$ هو $\csc^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u)$ هو $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

خطوة 9

الدالة $f$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$