حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5} - x^{3} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

خطوة 4.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

خطوة 4.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

خطوة 6

وسّع $(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 6.4

اطرح $3$ من $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 6.5

بسّط.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 6.6

أخرِج السالب.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 6.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 6.8

اطرح $3$ من $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

خطوة 10

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

خطوة 11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

خطوة 13.1.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

خطوة 13.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 13.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

خطوة 13.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 13.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

خطوة 13.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 13.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

خطوة 13.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$