حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $R (x)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $R' (x)$ .

$R (x) = \int R' (x) d x$

خطوة 2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x^{2} + 27000$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x^{2} + 27000$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 27000$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

خطوة 3.1.4

بما أن $27000$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27000$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $u^{- \frac{2}{3}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 6.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 6.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 6.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 6.1.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 6.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $u^{\frac{2}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 6.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

خطوة 6.2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

خطوة 6.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ بالصيغة $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 10

الدالة $R$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$