حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $s (t)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = t - 1$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = t - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (u + 1) u^{2} d u$

خطوة 3

وسّع $(u + 1) u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

خطوة 3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

خطوة 3.4

أضف $1$ و $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

خطوة 3.5

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

خطوة 9

الدالة $s$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$