حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos^{3} (x)$

خطوة 1

اكتب $\cos^{3} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \cos^{3} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

خطوة 4

أخرِج عامل $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$u + C + \int - u^{2} d u$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$u + C - \int u^{2} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 11

بسّط.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$