حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (p) = 4 {(p^{2} - 5)}^{3} (2 p)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (p)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (p)$ .

$F (p) = \int f (p) d p$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (p) = \int 4 {(p^{2} - 5)}^{3} (2 p) d p$

خطوة 3

اضرب $2$ في $4$ .

$\int 8 {(p^{2} - 5)}^{3} p d p$

خطوة 4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int {(p^{2} - 5)}^{3} p d p$

خطوة 5

لنفترض أن $u = p^{2} - 5$ . إذن $d u = 2 p d p$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = p d p$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = p^{2} - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d p}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $p^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2} - 5]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $p^{2} - 5$ بالنسبة إلى $p$ هو $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 5]$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 5]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ هو $n p^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 p + \frac{d}{d p} [- 5]$

خطوة 5.1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $p$ هو $0$ .

$2 p + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $2 p$ و $0$ .

$2 p$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$8 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{8}{2} \int u^{3} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u^{3} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u^{3} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u^{3} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} \int u^{3} d u$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \int u^{3} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

خطوة 10.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{4} + C$

خطوة 10.2.3

اضرب $u^{4}$ في $1$ .

$u^{4} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $p^{2} - 5$ .

${(p^{2} - 5)}^{4} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (p) = 4 {(p^{2} - 5)}^{3} (2 p)$ .

$F (p) =$ ${(p^{2} - 5)}^{4} + C$