حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = 7 x$ . إذن $d u_{1} = 7 d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = 7 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $7$ في $1$ .

$7$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 5

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 7

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 8

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = 3 x$ . إذن $d u_{2} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 9.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 10

اجمع $\sec^{2} (u_{2})$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{3}$ و $5$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 13

بما أن مشتق $\tan (u_{2})$ هو $\sec^{2} (u_{2})$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u_{2})$ هو $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

خطوة 14

بسّط.

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $7 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$