حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{9 - x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{9 - x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = 3 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 3 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.1.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6

أعِد كتابة $9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 5.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 5.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 5.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 5.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 6

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 7

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 12

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 12.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 12.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 13

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 15

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 16

بسّط.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 17.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

خطوة 18.3

اجمع $\frac{9}{2}$ و $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

خطوة 18.4

اضرب $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 18.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

خطوة 19

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

خطوة 20

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$