حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{3} - 4 x^{2} + 4 x d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int 4 x d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{2} d x + \int 4 x d x$

خطوة 5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 9.2.2

اجمع $4$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{2} + C$

خطوة 9.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2} + C$

خطوة 9.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + C$

خطوة 9.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

خطوة 9.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{1} + C$

خطوة 9.2.3.2.4

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C$