حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{2} = \cot (π x)$ . إذن $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{2} = \cot (π x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 3.1.2.2

مشتق $\cot (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 3.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

خطوة 3.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

اضرب $π$ في $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

خطوة 3.1.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

خطوة 4

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 9

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أخرِج العامل $π$ من $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

خطوة 12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

خطوة 12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{1}{π}$ و $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$