حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5

اجمع $\sin^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 14

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 14.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 14.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 14.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 14.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 15

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 16

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 17

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 18

بسّط.

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 19

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 19.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 19.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

خطوة 20.1.2

اجمع $\sin (4 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 20.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 20.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 20.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 20.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 20.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 20.4

اجمع $\frac{1}{8}$ و $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 20.5

اضرب $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.5.1

اضرب $\frac{1}{16}$ في $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

خطوة 20.5.2

اضرب $16$ في $2$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

خطوة 21

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

خطوة 22

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$