حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2 x} - e^{3 x}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{2 x} - e^{3 x} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - e^{3 x} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - e^{3 x} d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - e^{3 x} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int e^{3 x} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{u} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{2 x} - e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{3 x} + C$