حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} \int x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

خطوة 7

بما أن $- \frac{4}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{4}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} \int x^{3} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

خطوة 9.2.2

اضرب $\frac{x^{4}}{4}$ في $\frac{4}{5}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{4 \cdot 5} + C$

خطوة 9.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{20} + C$

خطوة 9.2.4

انقُل $4$ إلى يسار $x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 \cdot x^{4}}{20} + C$

خطوة 9.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 (x^{4})}{20} + C$

خطوة 9.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

خطوة 9.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

خطوة 9.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4}}{5} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$