حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (x^{2} - 5)$

خطوة 1

اكتب $x (x^{2} - 5)$ في صورة دالة.

$f (x) = x (x^{2} - 5)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x (x^{2} - 5) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x^{2} - 5$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x^{2} - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u \frac{1}{2} d u$

خطوة 5

اجمع $u$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

خطوة 8.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} u^{2} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 5$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} - 5)}^{2} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x (x^{2} - 5)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x^{2} - 5)}^{2} + C$