حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 7 x^{2} + 2$ . إذن $d u = 14 x d x$ ، لذا $\frac{1}{14} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 7 x^{2} + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$14 x + 0$

خطوة 3.1.4.2

أضف $14 x$ و $0$ .

$14 x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

خطوة 4

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{14}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{14}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 6

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $\frac{1}{14}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8.2.2

اضرب $14$ في $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $42$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $42$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$