حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $G (t)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

خطوة 4

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

خطوة 5

اضرب الأُسس في ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

خطوة 5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6

وسّع $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.3

اضرب $t^{- \frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.4

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.8

اطرح $1$ من $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.10

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.11

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

خطوة 6.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

خطوة 6.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

خطوة 6.13.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 11

بسّط.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$