حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

خطوة 4

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 3 - 5 x$ . إذن $d u = - 5 d x$ ، لذا $- \frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 3 - 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$0 - 5$

خطوة 5.1.4

اطرح $5$ من $0$ .

$- 5$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{5}$ .

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

خطوة 6.3

انقُل $5$ إلى يسار $u^{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

خطوة 8

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 10$ .

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 10.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $- 10$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 10.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 10.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 10.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 10.1.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 10.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 10.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 10.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة $- 2 (- u^{- 1} + C)$ بالصيغة $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

خطوة 12.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - 5 x$ .

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$