حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x - 2 \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$1 - 2 \cos (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $1 - 2 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \cos (x) = - 1$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x - 2 \sin (x)$ عند $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{3}$ بالصيغة $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 3.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ .

$\frac{π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x - 2 \sin (x)$ عند $x = \frac{5 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{3}) = (\frac{5 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 4.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 4.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$\frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x - 2 \sin (x)$ هي $y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}, y = \frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}, y = \frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 6