حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h))$

خطوة 2.1.2.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h))$

خطوة 2.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h))$

خطوة 2.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

خطوة 2.1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

خطوة 2.1.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

خطوة 2.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

خطوة 2.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2}$

خطوة 2.1.2.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

خطوة 2.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $h x$ و $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $\frac{x^{2}}{2}$ من $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

خطوة 4.1.2

أضف $\frac{h^{2}}{2} + h x$ و $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $h$ من $\frac{h^{2}}{2} + h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أخرِج العامل $h$ من $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

خطوة 4.1.3.2

أخرِج العامل $h$ من $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أخرِج العامل $h$ من $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

خطوة 4.1.4

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

خطوة 4.1.5

اجمع $x$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

خطوة 4.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

خطوة 4.1.7

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

خطوة 4.2

اجمع $h$ و $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{h + 2 x}{2}$

خطوة 5