حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

خطوة 2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ .

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} - (\frac{1 - x}{3 + x})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x}}{h}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- \frac{1 - x}{3 + x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

خطوة 4.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(3 + x + h) (3 + x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ في $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $\frac{1 - x}{3 + x}$ في $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(3 + x + h) (3 + x)$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x) (3 + x + h)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5

أعِد كتابة $\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

وسّع $(1 - x - h) (3 + x)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{\frac{1 \cdot 3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.2.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\frac{3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\frac{3 + x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.2.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - (x \cdot x) - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3

اطرح $3 x$ من $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 \cdot 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.6

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + 1 x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.6.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.7

وسّع $(- 1 + x) (3 + x + h)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 1 \cdot 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8.3

أعِد كتابة $- 1 h$ بالصيغة $- h$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8.4

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 \cdot x + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8.5

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 x + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.9

أضف $- x$ و $3 x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.10

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{\frac{- 2 x - x^{2} - 3 h - h x + 0 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.11

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.12

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.13

اطرح $h$ من $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.14

أضف $- h x$ و $0$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.15

أضف $- h x$ و $x h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.15.1

انقُل $h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h - 1 x h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.15.2

أضف $- 1 x h$ و $x h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h + 0}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.16

أضف $- 2 x + 2 x - 4 h$ و $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.17

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{\frac{0 - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.18

اطرح $4 h$ من $0$ .

$\frac{\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $h$ من $- 4 h$ .

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

خطوة 4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

خطوة 5