حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ بالصيغة $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ .

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

خطوة 2.1.2.2

وسّع $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

انقُل $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.8

اضرب $2$ في $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.10

اضرب $h$ في $h$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.10.1

انقُل $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.10.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.11

اضرب $2$ في $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.12

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.14

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.3.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

خطوة 2.1.2.4

أضف $4 x h$ و $4 h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

انقُل $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

خطوة 2.1.2.4.2

أضف $4 h x$ و $4 h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

خطوة 2.1.2.5

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

خطوة 2.1.2.6

اطرح $2 h$ من $- 2 h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

خطوة 2.1.2.7

الإجابة النهائية هي $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $8 h x$ و $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

خطوة 4.1.3

اطرح $4 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $4 h^{2}$ و $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

خطوة 4.1.5

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $4 h^{2}$ و $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

خطوة 4.1.7

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

خطوة 4.1.8

أضف $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ و $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.9

أخرِج العامل $4 h$ من $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.9.1

أخرِج العامل $4 h$ من $4 h^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.9.2

أخرِج العامل $4 h$ من $8 h x$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.9.3

أخرِج العامل $4 h$ من $- 4 h$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

خطوة 4.1.9.4

أخرِج العامل $4 h$ من $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ .

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

خطوة 4.1.9.5

أخرِج العامل $4 h$ من $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ .

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $4 (h + 2 x - 1)$ على $1$ .

$4 (h + 2 x - 1)$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

خطوة 4.3.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 h + 8 x - 4$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $4 h$ و $8 x$ .

$8 x + 4 h - 4$

خطوة 5