حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} + 2 x$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 2 (x + h)$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x + h)$

خطوة 2.1.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

خطوة 2.2.2

انقُل $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x + 2 h$

خطوة 2.2.3

انقُل $2 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h + 2 x$

خطوة 2.2.4

انقُل $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 2 h + 2 x$

خطوة 2.2.5

انقُل $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

خطوة 2.2.6

أعِد ترتيب $3 h^{2} x$ و $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{3} + 2 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{3} + 2 x$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - (x^{3} + 2 x)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - x^{3} - (2 x)}{h}$

خطوة 4.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - x^{3} - 2 x}{h}$

خطوة 4.1.3

اطرح $x^{3}$ من $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $h^{3}$ و $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

خطوة 4.1.5

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ و $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

خطوة 4.1.7

أخرِج العامل $h$ من $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

خطوة 4.1.7.2

أخرِج العامل $h$ من $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

خطوة 4.1.7.3

أخرِج العامل $h$ من $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 2 h}{h}$

خطوة 4.1.7.4

أخرِج العامل $h$ من $2 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

خطوة 4.1.7.5

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

خطوة 4.1.7.6

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

خطوة 4.1.7.7

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

خطوة 4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$ على $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

انقُل $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2$

خطوة 4.2.2.3

أعِد ترتيب $3 x h$ و $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2$

خطوة 5