حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لكتابة $\frac{2}{x + h}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{h}$

خطوة 1.2

لكتابة $- \frac{2}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

خطوة 1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{2}{x + h}$ في $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

خطوة 1.3.2

اضرب $\frac{2}{x}$ في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h) x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{x (x + h)} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 2.1.2

اضرب $\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}$ في $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h) h}$

خطوة 2.2

انقُل الحد $\frac{1}{x}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2.1.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 lim_{h \to 0} x + h}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2.1.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2.1.5

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 2 (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.2.3.2

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 3.1.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 3.1.3.3

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 3.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 3.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

خطوة 3.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.5.1

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

خطوة 3.1.3.5.2

اضرب $x$ في $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 2 (x + h)$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.3

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $- 2 (x + h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- 2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.4.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.4.5

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.4.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.5

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

خطوة 3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ هو $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ حيث $f (h) = x + h$ و $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

خطوة 3.3.8

اضرب $x + h$ في $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

خطوة 3.3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

خطوة 3.3.10

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

خطوة 3.3.11

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \cdot 1}$

خطوة 3.3.13

اضرب $h$ في $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h}$

خطوة 3.3.14

أضف $h$ و $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + 2 h}$

خطوة 3.3.15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{2 h + x}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $- 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 lim_{h \to 0} \frac{1}{2 h + x}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

خطوة 4.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

خطوة 4.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

خطوة 4.6

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $- 2$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

خطوة 6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

خطوة 6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{0 + x}$

خطوة 6.3.2

أضف $0$ و $x$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.4

اضرب $- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{2}{x \cdot x}$

خطوة 6.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x}$

خطوة 6.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x^{1}}$

خطوة 6.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2}{x^{1 + 1}}$

خطوة 6.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$