حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الأُس $2$ من ${(a - h)}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيمة حد $a$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.6

احسِب قيمة حد $5 a^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.7.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.2.1

أضف $a$ و $0$ .

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.7.2.2

اطرح $5 a^{2}$ من $5 a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة ${(a - h)}^{2}$ بالصيغة $(a - h) (a - h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3

وسّع $(a - h) (a - h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.1

اضرب $a$ في $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.1.4

اضرب $h$ في $h$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.4.1

انقُل $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.1.4.2

اضرب $h$ في $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.1.6

اضرب $h^{2}$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.2

اطرح $h a$ من $- a h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

انقُل $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4.2.2

اطرح $a h$ من $- a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6.3

بما أن $a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $a^{2}$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6.4

بما أن $- 2 a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $- 2 a h$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6.8

اطرح $2 a$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.7

بما أن $- 5 a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $- 5 a^{2}$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.8.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.2.1

اضرب $- 2$ في $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.8.2.2

اضرب $2$ في $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.8.2.3

أضف $- 10 a + 10 h$ و $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $- 10 a + 10 h$ على $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

خطوة 2.2

احسِب قيمة حد $10 a$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

خطوة 2.3

انقُل الحد $10$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- 10 a + 10 \cdot 0$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $10$ في $0$ .

$- 10 a + 0$

خطوة 4.2

أضف $- 10 a$ و $0$ .

$- 10 a$