حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{- 3} - 2^{- 3}}{h}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

حوّل الأُسس السالبة إلى كسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - 2^{- 3}}{h}$

خطوة 1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

خطوة 1.1.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لكتابة $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

خطوة 1.1.2.2

لكتابة $- \frac{1}{2^{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 1.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اضرب $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ في $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 1.1.2.3.2

اضرب $\frac{1}{2^{3}}$ في $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 1.1.2.3.3

أعِد ترتيب عوامل ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 1.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 1.2

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 1.2.2

اضرب $\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}$ في $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 1.3

انقُل الحد $\frac{1}{2^{3}}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $2^{3}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.1.3

انقُل الأُس $3$ من ${(2 + h)}^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.1.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.1.5

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 2^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.4

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.2.3.2

اطرح $8$ من $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل الأُس $3$ من ${(2 + h)}^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.3.4

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.3.5.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{2^{3} \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.6.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{8 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.6.3

اضرب $8$ في $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.6.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 - {(2 + h)}^{3}$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $- {(2 + h)}^{3}$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = h^{3}$ و $g (h) = 2 + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.6

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.7

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.5.8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.6

اطرح $3 {(2 + h)}^{2}$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ هو $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ حيث $f (h) = {(2 + h)}^{3}$ و $g (h) = h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

خطوة 2.3.9

اضرب ${(2 + h)}^{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

خطوة 2.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = h^{3}$ و $g (h) = 2 + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}$

خطوة 2.3.10.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

خطوة 2.3.10.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

خطوة 2.3.11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}$

خطوة 2.3.12

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

خطوة 2.3.13

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}$

خطوة 2.3.15

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

خطوة 2.3.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.1

أخرِج العامل ${(2 + h)}^{2}$ من ${(2 + h)}^{3} + h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.1.1

أخرِج العامل ${(2 + h)}^{2}$ من ${(2 + h)}^{3}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

خطوة 2.3.16.1.2

أخرِج العامل ${(2 + h)}^{2}$ من $h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} h \cdot 3}$

خطوة 2.3.16.1.3

أخرِج العامل ${(2 + h)}^{2}$ من ${(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} (h \cdot (3))$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + h \cdot (3))}$

خطوة 2.3.16.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + 3 \cdot h)}$

خطوة 2.3.16.2.2

أضف $h$ و $3 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.3

أعِد كتابة ${(2 + h)}^{2}$ بالصيغة $(2 + h) (2 + h)$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 + h) (2 + h) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.4

وسّع $(2 + h) (2 + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 (2 + h) + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.5.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.5.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.5.1.3

اضرب $h$ في $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.5.2

أضف $2 h$ و $2 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

خطوة 2.3.16.6

وسّع $(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{4 \cdot 2 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.7.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h \cdot h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7.5

اضرب $h$ في $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7.6

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7.7

انقُل $2$ إلى يسار $h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 \cdot h^{2} + h^{2} \cdot 4 h}$

خطوة 2.3.16.7.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{2} h}$

خطوة 2.3.16.7.9

اضرب $h^{2}$ في $h$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.7.9.1

انقُل $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h \cdot h^{2}}$

خطوة 2.3.16.7.9.2

اضرب $h$ في $h^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.7.9.2.1

ارفع $h$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1} h^{2}}$

خطوة 2.3.16.7.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1 + 2}}$

خطوة 2.3.16.7.9.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 2.3.16.8

أضف $16 h$ و $8 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 2.3.16.9

أضف $16 h^{2}$ و $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $- 3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 3.3

انقُل الأُس $2$ من ${(2 + h)}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

خطوة 3.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة حد $8$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

خطوة 3.8

انقُل الحد $24$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

خطوة 3.9

انقُل الحد $18$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

خطوة 3.10

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

خطوة 3.11

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0} h^{3}}$

خطوة 3.12

انقُل الأُس $3$ من $h^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

خطوة 4.4

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 3$ .

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $2$ و $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{2^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $24$ في $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.5.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.5.3

اضرب $18$ في $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 5.5.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 5.5.5

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 0}$

خطوة 5.5.6

أضف $8 + 0 + 0$ و $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0}$

خطوة 5.5.7

أضف $8 + 0$ و $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0}$

خطوة 5.5.8

أضف $8$ و $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

خطوة 5.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{8}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

خطوة 5.6.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{- 3}{4 (2)} \cdot \frac{4}{8}$

خطوة 5.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3}{4 \cdot 2} \cdot \frac{4}{8}$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{8}$

خطوة 5.7

اضرب $\frac{- 3}{2}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 3}{2 \cdot 8}$

خطوة 5.8

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{- 3}{16}$

خطوة 5.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{16}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{3}{16}$

الصيغة العشرية:

$- 0.1875$