حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1.1

أضف $9$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.6.2.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.6.2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.6.2.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.2.6.2.2

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{9 - t} - 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{9 - t}$ في صورة ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(9 - t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 9 - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 - t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.13

اطرح $1$ من $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.14

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.15

اجمع $\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.16

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.17

أعِد كتابة $- 1 {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ بالصيغة $- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.18

انقُل ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.3.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.5

أضف $- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد كتابة ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{9 - t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}} \cdot 1$

خطوة 1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

خطوة 2.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - t}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

خطوة 2.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t}}$

خطوة 2.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t}}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t}}$

خطوة 2.8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

خطوة 2.8.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1.1

أضف $9$ و $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

خطوة 2.8.2.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

خطوة 2.8.2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 2.8.2.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{1}{6}$

خطوة 3

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{6}$

الصيغة العشرية:

$- 0.1\overline{6}$