حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to - 1} \frac{t^{2} + 3 t + 2}{t^{2} - t - 2}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{t \to - 1} t^{2} + 3 t + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- 1$ .

$\frac{lim_{t \to - 1} t^{2} + lim_{t \to - 1} 3 t + lim_{t \to - 1} 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $2$ من $t^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} + lim_{t \to - 1} 3 t + lim_{t \to - 1} 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} + 3 lim_{t \to - 1} t + lim_{t \to - 1} 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $- 1$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} + 3 lim_{t \to - 1} t + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 3 lim_{t \to - 1} t + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 + 3 \cdot - 1 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.6.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1 - 3 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.2.6.3

أضف $- 2$ و $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 1} t^{2} - t - 2}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 1} t^{2} - lim_{t \to - 1} t - lim_{t \to - 1} 2}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $t^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} - lim_{t \to - 1} t - lim_{t \to - 1} 2}$

خطوة 1.1.3.3

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 1} t)}^{2} - lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 2}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $- 1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 2}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $- 1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 2}$

خطوة 1.1.3.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

خطوة 1.1.3.5.3

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to - 1} \frac{t^{2} + 3 t + 2}{t^{2} - t - 2} = lim_{t \to - 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t + 2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{t \to - 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t + 2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 3 t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.6

أضف $2 t + 3$ و $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 2]}$

خطوة 1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} - t - 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 2]}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 2]}$

خطوة 1.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]}$

خطوة 1.3.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]}$

خطوة 1.3.9.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1 + \frac{d}{d t} [- 2]}$

خطوة 1.3.10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1 + 0}$

خطوة 1.3.11

أضف $2 t - 1$ و $0$ .

$lim_{t \to - 1} \frac{2 t + 3}{2 t - 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- 1$ .

$\frac{lim_{t \to - 1} 2 t + 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- 1$ .

$\frac{lim_{t \to - 1} 2 t + lim_{t \to - 1} 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + lim_{t \to - 1} 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $- 1$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - 1}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- 1$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{lim_{t \to - 1} 2 t - lim_{t \to - 1} 1}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{2 lim_{t \to - 1} t - lim_{t \to - 1} 1}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $- 1$ .

$\frac{2 lim_{t \to - 1} t + 3}{2 lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 1}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 3}{2 lim_{t \to - 1} t - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{- 2 - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{- 2 - 1}$

خطوة 4.2.3

اطرح $1$ من $- 2$ .

$\frac{1}{- 3}$

خطوة 4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 0.\overline{3}$