حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة $x^{2} e^{x}$ بالصيغة $\frac{x^{2}}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

خطوة 2.1.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة زوجية معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

خطوة 2.1.3

بما أن الأُس $- x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot - 1}$

خطوة 2.3.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot e^{- x}}$

خطوة 2.3.8

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x}}$

خطوة 2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{e^{- x}}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

خطوة 3.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

خطوة 4.1.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية ومعامله الرئيسي موجب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$- 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

خطوة 4.1.3

بما أن الأُس $- x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- x}$ تقترب من $\infty$ .

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 4.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 4.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

خطوة 4.3.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

خطوة 4.3.8

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

خطوة 4.4

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

خطوة 4.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

خطوة 5

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{- x}}$ يقترب من $0$ .

$- 2 \cdot - 1 \cdot 0$

خطوة 7

اضرب $- 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \cdot 0$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $0$ .

$0$