حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 3

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة $512$ بالصيغة $16^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $256$ من $512$ .

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 7.1.2.2

أعِد كتابة $256$ بالصيغة $16^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 7.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 7.1.4

اضرب $16$ في $3$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 7.1.5

اضرب $3$ في $8$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $2 x^{3}$ بالصيغة $x^{2} \cdot (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أخرِج عامل $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

خطوة 7.2.1.2

أعِد ترتيب $2$ و $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

خطوة 7.2.1.3

أضف الأقواس.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

خطوة 7.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ في $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

خطوة 7.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ في $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

خطوة 7.4.2

انقُل $\sqrt{2 x}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

خطوة 7.4.3

ارفع $\sqrt{2 x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

خطوة 7.4.4

ارفع $\sqrt{2 x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

خطوة 7.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

خطوة 7.4.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2 x}}^{2}$ بالصيغة $2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x}$ في صورة ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.4.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.4.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.4.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.4.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

خطوة 7.4.7.5

بسّط.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

خطوة 7.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

خطوة 7.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

خطوة 7.6

احذِف العامل المشترك لـ $48 \sqrt{2} + 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $2$ من $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

خطوة 7.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

خطوة 7.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

خطوة 7.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.8

اضرب $24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.9.3

اضرب $2$ في $24$ .

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

أخرِج العامل $12$ من $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1.1

أخرِج العامل $12$ من $48 \sqrt{x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.10.1.2

أخرِج العامل $12$ من $12 \sqrt{2 x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

خطوة 7.10.1.3

أخرِج العامل $12$ من $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

خطوة 7.10.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

خطوة 7.10.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x}$ في صورة ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 7.10.4

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 7.10.5

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.5.1

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 7.10.5.2

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 7.10.5.3

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 7.11

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 7.12

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

خطوة 7.12.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

خطوة 7.12.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

خطوة 7.12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

خطوة 7.12.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

خطوة 7.12.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$