حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})$ بنقل $\frac{1}{3 x}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{3 x}$ و $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{3 x}}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.1.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.7

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.9

اضرب $\frac{2}{1 + 2 x}$ في $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.10

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{1}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1} \cdot 1}$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{2}{2 x + 1}$ في $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

خطوة 4.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}}$

خطوة 4.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

خطوة 4.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

خطوة 6.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{2}{3} \cdot 1}$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$e^{\frac{2}{3}}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e^{\frac{2}{3}}$

الصيغة العشرية:

$1.94773404 \dots$