حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) - 4 x}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 \sin (2 x) - 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{6 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{6 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{6 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{6 \sin (2 \cdot 0) - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{6 \sin (2 \cdot 0) - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{6 \sin (0) - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7.1.3

اضرب $6$ في $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7.1.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) - 4 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x) - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x) - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 \sin (2 x) - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.7

اضرب $2$ في $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 + 12 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 + 12 \cos (2 x)}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $- 4 + 12 \cos (2 x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 + 12 \cos (2 x)$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} 12 \cos (2 x)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} 12 \cos (2 x)$

خطوة 2.3

انقُل الحد $12$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 4 + 12 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

خطوة 2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- 4 + 12 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

خطوة 2.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 4 + 12 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- 4 + 12 \cos (2 \cdot 0)$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$- 4 + 12 \cos (0)$

خطوة 4.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 4 + 12 \cdot 1$

خطوة 4.1.3

اضرب $12$ في $1$ .

$- 4 + 12$

خطوة 4.2

أضف $- 4$ و $12$ .

$8$